设n阶方阵A、B可交换,即AB=BA,且A有n个互不相同的特征值,证明:A与B有相同的特征向量.B相似于对角矩阵.

admin2017-06-14  20

问题 设n阶方阵A、B可交换,即AB=BA,且A有n个互不相同的特征值,证明:A与B有相同的特征向量.B相似于对角矩阵.

选项

答案由于n阶方阵A有n个互不相同的特征值,故A有n个线性无关的特征向量,若A与B有相同的特征向量,则n阶方阵B有n个线性无关的特征向量,故B相似于对角矩阵. 设α为A的特征向量,对应的特征值为λ,则Aα=λα,两端左乘B,并利用AB=BA,得A(Bα)=λ(Bα),若Bα≠0,则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量,由题设条件知λ为单特征值,因此向量α及Bα又成比例,即存在数μ,使得Bα=μα,因此α也是B的特征向量; 若Bα=0,则Bα=0α,即α为B属于特征值0的特征向量,总之,α必为B的特征向量.由于α的任意性,知A的特征向量都是B的特征向量,同理可证B的特征向量也都是A的特征向量,所以A与B有相同的特征向量.

解析
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