设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

admin2017-06-14 22

问题设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

选项

答案由于n阶方阵A有n个互不相同的特征值，故A有n个线性无关的特征向量，若A与B有相同的特征向量，则n阶方阵B有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．设α为A的特征向量，对应的特征值为λ，则Aα=λα，两端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，由题设条件知λ为单特征值，因此向量α及Bα又成比例，即存在数μ，使得Bα=μα，因此α也是B的特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量．由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量，同理可证B的特征向量也都是A的特征向量，所以A与B有相同的特征向量．

解析

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考研数学一

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设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

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设A为m×n矩阵，则有()．

设总体X的概率密度为p(x，λ)=，其中λ＞0为未知参数，α＞0是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，X，求λ的最大似然估计量λ．

当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更低阶的无穷小量?()．

设A是n阶方阵，线性方程组AX=0有非零解，则线性非齐次方程组ATX=b对任何b=(b1，b2，…，bn)T()

已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’’(x)＜0，且f(1)=f’(1)=1，则()．

设常数λ＞0，而级数收敛，则级数()．

设矩阵A＝(aij)3×3满足A＝AT，其中A为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为()．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

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(　　)发出了程变更的权力，一般会在施工合同中明确约定，通常在发出变更通知前应征得业主批准。

原始信仰中对死亡起因的神话解释在现代人看来或许是浅陋的，但这些观念信仰在原始生活中却是不可或缺的，它们作为一种心理支持力量和社会支持力量而存在。这段话支持了这样一种观点()。

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