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(2009年)设y=y(χ)在区间(-π,π)内过点()的光滑曲线.当-π<χ<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤χ<π时,函数y(χ)满足y〞+y+χ=0.求函数y(χ)的表达式.
(2009年)设y=y(χ)在区间(-π,π)内过点()的光滑曲线.当-π<χ<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤χ<π时,函数y(χ)满足y〞+y+χ=0.求函数y(χ)的表达式.
admin
2019-08-01
40
问题
(2009年)设y=y(χ)在区间(-π,π)内过点(
)的光滑曲线.当-π<χ<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤χ<π时,函数y(χ)满足y〞+y+χ=0.求函数y(χ)的表达式.
选项
答案
曲线在(χ,y)处的法线方程为 Y-y=-[*](X-χ) 由于当-π<χ<0时,法线过原点,所以有y=-[*].由此可得,y
2
=-χ
2
+C. 因为点([*])在曲线上,所以C=π
2
, 则所求曲线为χ
2
+y
2
=π
2
(-π<χ<0). 当0≤χ≤π时,由y〞+y+χ=0解得,y=C
1
cosχ+C
2
sinχ-χ 由于曲线是光滑的,则 y(0-0)=y(0+0),y′
-
(0)=y′
+
(0) 而y(0-0)=π,y(0+0)=C
1
,则C
1
=π. y′
-
=(0)=0,y′
+
(0)=C
2
-1,则C
2
=1 故[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/NiERFFFM
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考研数学二
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