[2002年] (1)验证函数．满足微分方程y’’+y’+y=ex；(2)利用上题的结果求幂级数的和函数．[img][/img]

admin2019-04-08 33

问题 [2002年] (1)验证函数

．满足微分方程y’’+y’+y=e^x；(2)利用上题的结果求幂级数

的和函数．[img][/img]

选项

答案(1)验证该幂级数的收敛区间是(一∞，+∞)，这是缺项幂级数．令t=x³，则原级数=[*] ① 由 [*] 便知级数①的收敛半径为R=∞，从而t∈(一∞，+∞)即x∈(一∞，+∞)时，原级数收敛．在收敛区间(一∞，+∞)内可逐项求导任意次，下面只需逐项求导两次即可． [*] 则 [*] 于是 [*] (收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和)． (2)求解初始条件为y(0)=1，y’(0)=0的微分方程 y’’+y’+y=e^x. ② 对应齐次微分方程y’’+y’+y=0的特征方程为λ²+λ+1=0，其特征根为λ_1，2=[*]．于是对应齐次微分方程的通解为 [*] 由于λ=1不是特征根，可设非齐次微分方程的特解为y^*=Ae^x．将y^x代入方程②得A=1／3，于是y^x=e^x／3，故非齐次微分方程②的通解为 [*] 又将初始条件y(0)=1，y’(0)=0代入上式得到 [*] 解之得C₁=2／3，C₂=0，故所求幂级数[*]的和函数为 [*]

解析

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