证明曲线：x=aetcost，y=aetsint，z=aet与锥面S：x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x，y，z)与顶点的连线)相交的角度相同，其中a为常数．

admin2018-11-21 38

问题证明曲线

：x=ae^tcost，y=ae^tsint，z=ae^t与锥面S：x²+y²=z²的各母线(即锥面上点(x，y，z)与顶点的连线)相交的角度相同，其中a为常数．

选项

答案曲线[*]的参数方程满足x²+t²=z²，于是[*]上任一点(x，y，z)处的母线方向l={x，y，z}，切向量 τ={x’，y’，z’}={ae^t(cost—sint)，ae^t(cost+sint)，ae^t}={x一y，x+y，z}．因此 [*] 即曲线[*]与锥面S的各母线相交的角度相同．

解析先求

的切向量τ={x’(t)，y’(t)，z’(t)}以及锥面上点(x，y，z)的母线方向，即它与锥的顶点(0，0，0)的连线方向l=(x，y，z)，最后考察cos〈τ，l〉．

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