设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋ax22＋2x32＋2x1x2－2bx1x3＋2x2x3经过正交变换化3y12＋3y22。求a，b的值；

admin2019-12-24 48

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝2x₁²＋ax₂²＋2x₃²＋2x₁x₂－2bx₁x₃＋2x₂x₃经过正交变换化3y₁²＋3y₂²。
求a，b的值；

选项

答案令A＝[*]，x＝[*]，则f(x₁，x₂，x₃)＝x^TAx，因为二次型经过正交变换化为3y₁²＋3y₂²，所以矩阵A的三个特征值分别为λ₁＝3，λ₂＝3，λ₃＝0。根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，有： λ₁＋λ₂＋λ₃＝4＋a＝6，得a＝2； λ₁λ₂λ₃＝｜A｜＝－2(b＋2)(b－1)＝0，得b＝－2或b＝1。因为当b＝－2时，A＝[*]，因为｜3E－A｜＝[*]＝－9≠0，所以a＝2，b＝1。

解析

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考研数学三

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