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  3. [2017年] 设y(x)是区间(0，)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与Y轴相交于点(0，YP)，法线与x轴相交于点(XP，0)，若Xp=Yp，求L上点的坐标(x，y)满足的方程。

[2017年] 设y(x)是区间(0，)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与Y轴相交于点(0，YP)，法线与x轴相交于点(XP，0)，若Xp=Yp，求L上点的坐标(x，y)满足的方程。

admin2019-05-10  40
问题 [2017年]  设y(x)是区间(0，)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与Y轴相交于点(0，YP)，法线与x轴相交于点(XP，0)，若Xp=Yp，求L上点的坐标(x，y)满足的方程。
选项
答案结合导数的应用和微分方程的求解方法，首先使用切线和法线的性质列出微分方程，再求解微分方程． 设L在(x，y)处的切线方程为Y—y(x)=y′(x)(X—x)，所以YP=y(x)一y′(x)x；对应的法线方程为Y—y(x)=一[*](X—x)，所以XP=x+y(x)y′(x)． 由Xp=Yp得y(x)一xy′(x)=x+y(x)y′(x)，即 [*] 这是一个齐次方程，可令u=[*]，则u+x[*] 整理得x[*]，分离变量得，[*]. 积分得[*]ln(1+u2)+arctanu=一lnx+c． 又由y(1)=0得c=0，故L上点的坐标(x，y)满足的方程为 [*]+arctan[*]=一lnx，x∈(0，[*])．
解析
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考研数学二

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