(1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

admin2021-01-19 65

问题 (1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

选项

答案由泰勒中值定理可知 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋[*](η)χ³ 其中η介于0与χ之间，χ∈[－1，1] 分别令χ＝－1和χ＝1，并结合已知条件得 0＝f(－1)＝f(0)＋[*](η₁)，－1＜η₁＜0 1＝f(1)＝f(0)＋[*](η₂)， 0＜η₂＜1 两式相减可得 f′〞(η₁)＋f′〞(η₂)＝6 由f′〞(χ)的连续性，f′〞(χ)在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 m≤[*]≤M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂][*](－1，1) 使[*]＝3

解析

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考研数学二

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(1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

考研数学二

设f(x)在[a，b]上连续，证明：

求2y一x=(x—y)ln(x—y)确定的函数y=y(x)的微分dy．

求分别满足下列关系式的f(x)．1)f(x)=∫0xf(t)dt，其中f(x)为连续函数；2)f’(x)+xf’(一x)=x．

设说明y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；

设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足χ2＝χ3的全部分．

平面曲线L：绕z轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)>-，证明(1)中的c是唯一的．

设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

濡脉的主病是

可以灭活C3b的成分是

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