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设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 证明当x≥0时,成立不等式e—x≤f(x)≤1。
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 证明当x≥0时,成立不等式e—x≤f(x)≤1。
admin
2019-07-22
26
问题
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一
∫
0
x
f(t)dt=0。
证明当x≥0时,成立不等式e
—x
≤f(x)≤1。
选项
答案
由上题中结果知,当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1。 设φ(x)=f(x)一e
—x
,则 φ(0)=0,φ’(x)=f’(x)+e
—x
=[*], 当x≥0时,φ’(x)≥0,即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0,即有f(x)≥e
—x
。 综上所述,当x≥0时,不等式e
—x
≤f(x)≤1成立。
解析
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考研数学二
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