(2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。 (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。

admin2019-03-19 67

问题 (2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e^x。
(I)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)求曲线y=f(x²)∫₀^xf(一t²)dt的拐点。

选项

答案(I)特征方程为r²+r一2=0，特征根为r₁=1，r₂=一2，因此齐次微分方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^-2x。再由f"(x)+f(x)=2e^x，得2C₁e^x+5C₂e^-2x=2e^x，可知C₁=1，C₂=0。故f(x)=e^x。 [*] 令y"=0，原式可得x=0。为了说明x=0是y"=0唯一的解，需讨论y"在x＞0和x＜0时的符号。 [*] 故x=0是y"=0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线y=f(x²)∫₀^xf(一t²)dt在x=0左右两边的凹凸性相反，可知点(0，0)是曲线y=f(x²)∫₀^xf(一t²)dt唯一的拐点。

解析

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考研数学三

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