2. 考研
  3. 设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA－1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．

设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA－1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．

admin2018-09-25  24
问题 设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA－1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．
选项
答案设有数k1，k2，…，kn使得 k1α1+k2α2+…+knαn=0． 在上式两端左边乘αiTA－1，由αiTA－1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)，可得 kiαiTA－1αj=0(i=1，2，…，n)． 因A为正定矩阵，则A－1也为正定矩阵，且αi≠0，故αiTA－1αi＞0． 于是 ki=0(i=1，2，…，n)．所以向量组α1，α2，…，αn线性无关．
解析
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考研数学一

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