设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)．

admin2016-10-26 29

问题设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)．

选项

答案设A的列向量中α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}是其一个极大线性无关组，β_j₁，β_j₂，…，β_{j_t}是B的列向量的一个极大线性无关组．那么，A的每一个列向量均可以由α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}线性表出，B的每一个列向量均能用β_j₁，β_j₂，…，β_{j_t}线性表出．于是A+B的每一个列向量α_K+β_K都能用α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}，β_j₁，β_j₂，…，β_{j_t}线性表出．因此，A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}，β_j₁，β_j₂，…，β_{j_t}中向量个数，即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)．

解析

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