若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________。

admin2018-05-25 36

问题若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________。

选项

答案由齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x可知λ=1是特征方程λ²+aλ+b=0的重根，从而可得a=一2，b=1。则原齐次微分方程为y"一2y’+y=x。设特解y^*=Ax+B，则(y^*)’=A，(y^*)"=0。分别将其代入原微分方程，有一2A+Ax+B=x，比较x的系数知，A=1。于是有一2+B=0，即B=2。所以特解y^*=x+2。故非齐次微分方程的通解y=(C₁+C₂x)e^x+x+2，将y(0)=2，y’(0)=0代入，得C₁=0，C₂=一1。因此满足条件的解y=一xe^x+x+2x(1一e^x)+2。

解析

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考研数学一

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若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________。

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