设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβT； (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

admin2014-11-26 43

问题设A是n阶矩阵，证明：
(Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβ^T；
(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

选项

答案(Ⅰ)若r(A)=1,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即A=[*] 于是[*] 显然α，β都不是零向量且A=αβ^T．反之，若A=αβ^T，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβ^T)≤r(α)=1．又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1． (Ⅱ)因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβ^T，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令AX=λX，因为A²=kA，所以λ²X=kλX，或(λ²一kλ)X=0，注意到x≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ₁+λ₂+…+λ_n=tr(A)=k，所以λ₁=k，λ₂=λ₃=…=λ_n=0，由r(OE—A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．

解析

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设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβT； (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

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