2. 考研
  3. 设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解，且 (I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离． (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx．

设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解，且 (I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离． (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx．

admin2017-12-18  25
问题 设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解，且
(I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．
(Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx．
选项
答案(I)2y"+y’一y=(4—6x)e-x的特征方程为2λ2+λ—1=0，特征值为λ1=一1，[*] 2y"+y’一y=0的通解为y=C1e-x+[*] 令2y"+y’一y=(4—6x)e-x的特解为y0=(ax2+bx)e-x，代入得a=1，b=0， 原方程的通解为y=C1e-x+[*] 由[*]得y(0)=0，y’(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=x2e-x． 由y’=(2x一x2)e-x=0得x=2， 当x∈(0，2)时，y’＞0；当x＞2时，y’＜0，则x=2为y(x)的最大点， 故最大距离为dmax=y(2)=4e-2． (Ⅱ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e-xdx=Γ(3)=2!=2．
解析
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考研数学一

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