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  3. 设α，β为n维单位列向量，P是n阶可逆矩阵，则下列矩阵中可逆的是 ( )

设α，β为n维单位列向量，P是n阶可逆矩阵，则下列矩阵中可逆的是 ( )

admin2018-09-25  25
问题 设α，β为n维单位列向量，P是n阶可逆矩阵，则下列矩阵中可逆的是    (    )
选项 A、A=E=ααT
B、B=αTPαP－1－ααT
C、C=αTP－1βP－βαT
D、D=E+ββT
答案D
解析 方法一  对矩阵D=E+ββT，有
    D2=(E+ββT)2=E+2ββT+ββTββT(其中ββT=1)
    =E+3ββT=3(E+ββT)－2E=3D－2E，
    D2－3D=D(D－3E)=－2E，
故D可逆，且D－1=(D－3E)，故应选D．
    方法二  利用齐次方程组是否有非零解判别．
    因Ax=(E－ααT)x=0，当x=α≠0时，有
    (E－ααT)α=α－α(αTα)=0(其中αTα=1)，
故排除A．
    因Bx=(αTPαP－1－ααT)x=0，当x=Pα≠0时，有
(αTPαP－1－ααT)Pα=(αTPα)(P－1P)α－α(αTPα)=(αTPα)α－α(αTPα)=0(其中αTPα是数)．
故排除B．
因Cx=(αTP－1βP－βαT)x=0，取x=P－1β≠0，有
    (αTP－1β)β－β(αTP－1β)=0(其中αTP－1β是数)．
故排除C．由排除法，故应选D．
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考研数学一

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