设函数f(x)在[0，1]上连续，且试证：存在x2∈[0，1]，使得|f(x2)|=4．

admin2020-05-02 10

问题设函数f(x)在[0，1]上连续，且

试证：
存在x₂∈[0，1]，使得|f(x₂)|=4．

选项

答案若对于一切x∈[0，1]均有|f(x)|＞4，则由函数的连续性可知，对于一切x∈[0，1]，有f(x)＞4恒成立或者f(x)＜－4恒成立．无论哪种情形，都与已知条件[*]矛盾．因此，至少有一点ξ，使得|f(ξ)|≤4．若|f(ξ)|=4，取ξ=x₂，结论证毕．若|f(ξ)|＜4，则因为f(x)在以x₁与ξ为端点的闭区间上连续，由介值定理可知存在一定x₂，使得|f(x₂)|=4．

解析

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考研数学一

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