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[2008年] 设a，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：(I)秩(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩(A)＜2．
[2008年] 设a，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：(I)秩(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩(A)＜2．
admin
2019-05-10
48
问题
[2008年] 设a，β为三维列向量，矩阵A=αα
T
+ββ
T
，其中α
T
，β
T
分别是α，β的转置．证明：(I)秩(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩(A)＜2．
选项
答案
注意到A为列向量与行向量相乘的形式有关，其秩的问题要用命题2．2．3．2(5)的结论，即秩(A)≤1解之． (I)解一 直接利用命题2．2．3．2(5)的结论得秩(αα
T
)≤1，秩(ββ
T
)≤1．再利用命题2．2．3．1(3)，得到秩(A)=秩(αα
T
+ββ
T
)≤秩(αα
T
)+秩(ββ
T
)≤2． 解二 设α，β为三维列向量：a=[a
1
，a
2
，a
3
]
T
，β=[b
1
，b
2
，b
3
]
T
，则 αβ
T
=[*][b
1
，b
2
，b
3
]=[*] 故秩(αβ
T
)≤1．因而有秩(αα
T
)≤1，秩(ββ
T
)≤1，于是秩(A)=秩(αα
T
+ββ
T
)≤秩(αα
T
)+秩(ββ
T
)≤1+l≤2． (Ⅱ)因α，β线性相关，不妨设k≠0使β=kα，则 秩(A)=秩(αα
T
+(kα)(kα)
T
)=秩(αα
T
+k
2
αα
T
)=秩((1+k
2
)αα
T
)=秩(αα
T
)≤1＜2．
解析
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