设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B)．

admin2017-06-14 25

问题设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，证明：方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B)．

选项

答案必要性．ABX=0和BX=0是同解方程组<=>ABX=0和BX=0有相同的基础解系=>ABX=0和BX=0的基础解系的向量个数相同，即l—r(B)=l—r(AB)，故r(AB)=r(B)．充分性．r(AB)=r(B)<=>ABX=0和BX=0的基础解系的向量个数相同，又因为BX=0的解均是(AB)X=A(BX)=0的解，故．BX=0的基础解系也是ABX=0的基础解系，故BX=0和ABX=0有相同的基础解系，ABX=0和BX=0是同解方程组．

解析

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