设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F"’(c)=0.

admin2018-11-21  26

问题 设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F"’(c)=0.

选项

答案由于F(0)=F(1)=0,F(x)在[0,1]可导,则[*]ξ1∈(0,1),F’(ξ1)=0.又 F’(x)=x2f’(x)+2xf(x), 及由F’(0)=0,F’(ξ1)=0,F’(x)在[0,1]可导,则[*]ξ2∈(0,ξ1)使得F"(ξ2)=0.又 F"(x)=x2f"(x)+4xf’(x)+2f(x), 及由F"(0)=F"(ξ2)=0,F"(x)在[0,1]可导,则[*]c∈(0,f2)使得F"’(c)=0.

解析
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