在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a＞0为常数．

admin2019-08-06 33

问题在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a²，且曲线过点(a，a)，a＞0为常数．

选项

答案设所求曲线为y=f(x)．由题设，作出所围梯形，如图1—9—2中的阴影部分所示． [*] 过曲线y=f(x)上的点(x，y)的切线方程为 Y—y=f’(x)(X—x)．令Y=0，得切线在x轴上的截距为X=x一[*]，即为梯形的下底的长度．又梯形的上底的长为x，高为y．因此，梯形面积为 S=[*]=a²．由此得微分方程2(xy一a²)y’=y²，即y²[*]一2yx=一2a²．这是关于y的一阶非齐次线性微分方程，可求得通解为x=cy²+[*]，其中c为任意常数．又因为曲线过点(a，a)，即满足初始条件y(a)=a．代入通解中，得c=[*]．

解析

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考研数学三

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在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a＞0为常数．

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