求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

admin2017-07-28 29

问题求函数z=x²y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

选项

答案区域D如图8．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到．为求D内驻点，先求 [*]=2xy(4一x一y)一x²y=xy(8—3x一2y)， [*]=x²(4一x一y)一x²y=x²(4一x一2y)．再解方程组[*]’得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4． [*] 在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6一x代入得z(x，y)=x²(6一x)(一2)=2(x³一6x²)，0≤x≤6．令h(x)=2(x³一6x²)，则h’(x)=6(x²—4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=一64，h(6)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为一64． [*]

解析

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考研数学一

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求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

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