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  3. 设函数f(x)在(－∞,+∞)内满足f(x)=f(x－π)+sinx且f(x)=x,x∈[0,π)，计算∫π3πf(x)dx。

设函数f(x)在(－∞,+∞)内满足f(x)=f(x－π)+sinx且f(x)=x,x∈[0,π)，计算∫π3πf(x)dx。

admin2022-10-08  34
问题 设函数f(x)在(－∞,+∞)内满足f(x)=f(x－π)+sinx且f(x)=x,x∈[0,π)，计算∫π3πf(x)dx。
选项
答案解法一 ∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x－π)+sinx]dx =∫π3πf(x－π)dx[*]∫02πf(t)dt=∫0πf(t)dt+∫π2πf(t)dt =∫0πf(t)dt+∫π2π[f(t－π)+sint]dt=[*]－2+∫π2πf(t－π)dt[*]－2+∫0πf(x)dx=π2－2 解法二 当x∈[π,2π)时，x－π∈[0,π），由f在[0,π）上的定义知f(x－π)=x－π,故 f(x)=f(x－π)+sinx=x－π+sinx x∈[π,2π） 当x∈[2π,3π)时，x－π∈[π,2π)，f(x－π)=[(x－π)－π]+sin(x－π)=x－2π－sinx，故 f(x)=f(x－π)+sinx=x－2π－sinx+sinx=x－2π 综上所述，当x在[π,3π)中有[*] ∫π3πf(x)dx=∫π2πf(x)dx+∫2π3πf(x)dx=∫π2π(x－π+sinx)dx+∫2π3π(x－2π)dx =π2－2
解析
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考研数学三

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