设总体X服从自由度为m的χ2分布，其概率密度是f(χ；m)．X1，X2，…，Xn是取自X的一个简单随机样本，其样本均值的概率密度记为g(y)． (Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来； (Ⅱ)具体计算Y的期望与方差．

admin2018-06-12 43

问题设总体X服从自由度为m的χ²分布，其概率密度是f(χ；m)．X₁，X₂，…，X_n是取自X的一个简单随机样本，其样本均值

的概率密度记为g(y)．
(Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来；
(Ⅱ)具体计算Y的期望与方差．

选项

答案(Ⅰ)根据简单随机样本的性质，X₁，X₂，…，X_n。相互独立且与总体X同分布，即X_i～X²(m)，i＝1，2，…，n．应用χ²分布可加性可知 Y＝[*]X_i～χ²(mn)， Y的概率密度为f(y，mn)． [*]是Y的函数[*]，由于[*]是y的单调函数且其导数为[*]≠0，应用单调函数的密度公式可直接得出[*]的概率密度应为g(y)＝nf(ny，mn)． (Ⅱ)设随机变量Y₁，Y₂，…，Y_mn相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，则随机变量Y₁²，Y₂²，…，Y_mn²也相互独立且都服从一个自由度的χ²分布．于是 Y＝Y₁²＋Y₂²＋…＋Y_mn²～χ²(mn)．由于Y_i～N(0，1)，EY_i＝0，EY_i²＝DY_i＝1， [*]

解析

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考研数学一

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设总体X服从自由度为m的χ2分布，其概率密度是f(χ；m)．X1，X2，…，Xn是取自X的一个简单随机样本，其样本均值的概率密度记为g(y)． (Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来； (Ⅱ)具体计算Y的期望与方差．

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