设f(x)在[a,b]上存在二阶导数,f(a)=f(b)=0,并满足f″(x)+[f′(x)]2-4f(x)=0.则在区间(a,b)内f(x) ( )

admin2020-01-15  70

问题 设f(x)在[a,b]上存在二阶导数,f(a)=f(b)=0,并满足f″(x)+[f′(x)]2-4f(x)=0.则在区间(a,b)内f(x)    (    )

选项 A、存在正的极大值,不存在负的极小值.
B、存在负的极小值,不存在正的极大值.
C、既有正的极大值,又有负的极小值.
D、恒等于零.

答案D

解析 设存在x0∈(a,b),f(x0)>0且为f(x)的极大值,于是f′(x0)=0.代入所给方程得f″(x0)=4f(x0)>0,则f(x0)为极小值,矛盾.进一步可知不存在c∈(a,b),使f(c)>0.因若不然,由于f(a)=f(b)=0,推知在(a,b)内f(x)存在正的最大值,同时也是极大值.与已证矛盾.
类似地可证f(x)在(a,b)内取不到负值.
于是只能选(D).当然,f(x)≡0是满足所给方程的.
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