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设a1=2,an+1=(n=1,2,…).证明: (1)an存在; (2)级数收敛.
设a1=2,an+1=(n=1,2,…).证明: (1)an存在; (2)级数收敛.
admin
2019-09-04
42
问题
设a
1
=2,a
n+1
=
(n=1,2,…).证明:
(1)
a
n
存在;
(2)级数
收敛.
选项
答案
(1)因为a
n+1
=[*]≥1,又a
n+1
-a
n
=[*]≤0 所以{a
n
}
n=1
∞
单调减少,而a
n
≥0,即{a
n
}
n=1
∞
是单调减少有下界的数列,根据极限存在准则,[*]a
n
存在. (2)由(1)得0≤[*]≤a
n
-a
n+1
, 对级数[*](a
n
-a
n+1
),S
n
=(a
1
-a
2
)+(a
2
-a
3
)+…+(a
n
-a
n+1
)=2-a
n+1
, 因为[*]S
n
=2-[*]a
n
存在,所以级数[*](a
n
-a
n+1
)收敛,根据比较审敛法,级数[*]收敛.
解析
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考研数学三
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