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  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

admin2018-07-27  43
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．
选项
答案设有一组数λ0，λ1，…，λk－1使λ0α+λ1Aα+…+λk－1Ak－1α=0，两端左乘Ak－1，由于Ak－mα=0(m=0，1，2，…)，[*]λ0Ak－1α=0，又Ak－1α≠0，[*]λ0=0，同理可证λ1=…=λk－1=0，故α，Aα，…，Ak－1α线性无关．
解析
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考研数学三

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