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[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．
[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．
admin
2021-01-19
34
问题
[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．
选项
A、A
T
与B
T
相似
B、A
-1
与B
-1
相似
C、A+A
T
与B+B
T
相似
D、A+A
-1
与B+B
-1
相似
答案
C
解析
由命题2．5．3．1(1)②，③知选项(A)、(B)都正确，可利用它们相似的定义及运算证明选项(D)也正确．仅(C)入选．
因A～B，故存在可逆矩阵P，使得
B=P～AP ①
在式①两边取转置，得到 B
T
=(P
-1
AP)
T
=P
T
A
T
(P
-1
)
T
=[(P
T
)
-1
]
-1
A
T
[(P
T
)
-1
]，故A
T
与B
T
相似，选项(A)正确．
在式①两边求逆运算，得到 B
-1
=(P
-1
AP)
-1
=P
-1
A
-1
(P
-1
)
-1
=P
-1
A
-1
P ②
故A与A
-1
相似．选项(B)正确．
由式①+式②得B+B
-1
=P
-1
AP+P
-1
A
-1
P=P(A+A
-1
)P，故A+A
-1
～B+B
-1
．
选项(D)正确．仅(C)入选．
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考研数学二
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