2. 考研
  3. 已知曲线L的方程 (1)讨论L的凹凸性； (2)过点(＝1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程； (3)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．

已知曲线L的方程 (1)讨论L的凹凸性； (2)过点(＝1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程； (3)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．

admin2019-08-01  44
问题 已知曲线L的方程
    (1)讨论L的凹凸性；
    (2)过点(＝1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；
    (3)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．
选项
答案(1)因为[*] 故曲线L当f≥0时是凸的． (2)由(1)知，切线方程为y－0＝[*](x＋1)，设x0＝t02＋1，y0＝4t0－t02，则(fi＋2)，即4t0—t02＝[*](2－t0)(t02＋2)，整理得t02＋t0－2＝0→(t0－1)(t0＋2)＝0→t0＝1，t0＝－2(舍去)．将t0＝1代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为 y－3＝[*](x－2)，即y＝x＋1． (3)由题设可知，所水平面图形如图1—2—1所示，其中各点坐标为A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(－1，0)， 设L的方程x＝g(y)，则S＝∫03[g(y)－(y－1)]dy 由参数方程可得[*] 由于C(2，3)在L上，则x＝g(y)＝[*]于是 [*] [*]
解析 [分析]  (1)利用曲线凹凸的定义来判定；(2)先写出切线方程，然后利用(－1，0)在切线上；(3)利用定积分计算平面图形的面积．
[评注]  本题为基本题型，第(3)问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解．
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考研数学二

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