设f(x)在x＝2的某邻域内可导，且f＇(x)＝ef(x)，f(2)＝3，则f(n)(2)＝_________。

admin2019-01-25 25

问题设f(x)在x＝2的某邻域内可导，且f＇(x)＝e^f(x)，f(2)＝3，则f⁽ⁿ⁾(2)＝_________。

选项

答案(n-1)!e³ⁿ

解析本题考查数学归纳法求高阶导数。首先通过多次求导找出f⁽ⁿ⁾(x)的表达式，再将x＝2代入最终表达式得出结果。
对f＇(x)＝e^f(x)两端求导可得f＂(x)＝e^f(x)·f＇(x)＝e^2f(x)，对上式两端继续求导可得

，对上式两端继续求导可得f⁽⁴⁾(x)＝2e^3f(x)·3f＇(x)＝6e^4f(x)，根据数学归纳法可知，f⁽ⁿ⁾(x)＝(n－1)!e^nf(x)，结合f(2)＝3可知，f⁽ⁿ⁾(2)＝(n－1)!e^nf(2)＝(n－1)!e³ⁿ。

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