2. 考研
  3. 设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f’(a)f’(b)＞0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．

设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f’(a)f’(b)＞0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．

admin2017-07-26  49
问题 设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f’(a)f’(b)＞0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．
选项
答案不妨设f’(a)＞0，则由f’(a)f’(b)＞0可知，f’(b)＞0．由导数的定义： [*] 即f(x2)＜f(b)=f(a)， 于是有f(x2)＜f(a)＜f(x1)．由介值定理，存在点η∈(x1，x2)，使得f(η)=f(a)．由洛尔定理可知 存在点ξ1∈(x1，η)，使f’(ξ1)=0， 存在ξ2∈(η，x2)，使f’(ξ2)=0． 所以，f’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，由洛尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得f"(ξ)=0．
解析 证f"(ξ)=0的关键是找出使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0的区间[ξ1，ξ2]．由f’(a)f’(b)＞0及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的点ξ1和ξ2．
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考研数学三

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