设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(x)dx=f(2),试证:存在一点ξ∈(0,2),使得f"(ξ)=0.

admin2017-07-26  35

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(x)dx=f(2),试证:存在一点ξ∈(0,2),使得f"(ξ)=0.

选项

答案[*] 在[a,2]上f(x)满足洛尔定理的全部条件,由洛尔定理,存在一点b∈(a,2),使得f’(b)=0,又f’(x)在[a,b]上满足洛尔定理的全部条件,由洛尔定理,存在点ξ∈(a,b)[*](0,2),使得f"(ξ)=0.

解析 要证f"(ξ)=0,对f(x)可用两次洛尔定理来证明.用两次洛尔定理的关键是在[0,2]内构造使得f(a)=f(2)的区间和使f’(b)=f’(c)的区间[a,2]与[b,c].[a,2]可由积分中值定理得到,[b,c]可由已知极限和洛尔定理获得.
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