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  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，使ξf(ξ)=f(x)dx．

设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，使ξf(ξ)=f(x)dx．

admin2016-11-03  31
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，使ξf(ξ)=f(x)dx．
选项
答案由题设知，显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的诸条件．由该定理知，存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)=0，即 [*] 亦即 [*] 注意 若按照一般辅助函数F(x)的构造方法，自然想到令F(x)=xf(x)一[*]f(t)dt，但此时F(0)=－[*]f(t)dt≤0，F(1)=f(1)一[*]f(t)dt=f(1)≥0，得不到F(x)在[0，1]区间端点处严格异号，因而不能直接使用罗尔定理．
解析 将待证等式改写为xf(x)=f(t)dt，即xf(x)一f(t)dt=0．亦即xf(x)+f(t)dt=[xf(t)dt]′=0，因而构造辅助函数F(x)=xf(t)dt．下只需证明F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件即可．
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