设A,B为同阶方阵, (I)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等. (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立. (Ⅲ)当A,B均实对称矩阵时,试证(I)的逆命题成立.

admin2012-06-04  56

问题 设A,B为同阶方阵,
(I)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等.
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立.
(Ⅲ)当A,B均实对称矩阵时,试证(I)的逆命题成立.

选项

答案(I)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P-1AP=B, 故 |λE-B|=|λE-P-1AP|=|P-1λEP-P-1AP|=|P-1(AE-A)P|=|P-1||λE-A||P|=|λE-A|. [*]

解析
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