[2014年] 设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( ).

admin2019-03-30  42

问题 [2014年]  设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上(    ).

选项 A、当f’(x)≥0时,f(x)≥g(x)
B、当f’(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C、当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D、当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x)

答案D

解析 解一  令φ(x)=f(x)-g(x),则
    φ(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,
    且φ’(x)=f’(x)+f(0)-f(1),φ"(x)=f"(x).
    当f"(0)≥0时,φ"(x)=f"(0)≥0,φ(x)为凹函数.
    因φ(0)=φ(1)=0,由命题1.2.4.2(2)知,当x∈[0,1]时,φ(x)≤0,即f(x)≤g(x),仅(D)入选.
    解二  由g(x)的表达式知,g(0)=f(0),g(1)=f(1),即f(x)与g(x)在区间[0,1]端点的函数值相等,又g(x)=f(0)+[f(1)-f(0)]x是一条直线,斜率k=f(1)-f(0).当f"(0)≥0时,f(x)在区间[0,1]上是凹的,而g(x)是连接f(x)两个端点的弦(见图1.2.4.2)故f(x)≤g(x).仅(D)入选.
            
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