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设f(x)在[a,b]上连续,且f″(x)>0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0<λ<1,证明: f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).
设f(x)在[a,b]上连续,且f″(x)>0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0<λ<1,证明: f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).
admin
2022-08-19
23
问题
设f(x)在[a,b]上连续,且f″(x)>0,对任意的x
1
,x
2
∈[a,b]及0<λ<1,证明:
f[λx
1
+(1-λ)x
2
]≤λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
).
选项
答案
令x
0
=λx
1
+(1-λ)x
2
,则x
0
∈[a,b],由泰勒公式得 f(x)=f(x
0
)+f′(x
0
)(x-x
0
)+[f″(ξ)/2](x-x
0
)
2
,其中ξ介于x
0
与x之间, 因为f″(x)>0,所以f(x)≥f(x
0
)+f′(x
0
)(x-x
0
), 于是[*] 两式相加,得f[λx
1
+(1-λ)x
2
]≤λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
).
解析
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考研数学三
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