设A是3阶矩阵,α,β是线性无关的3维列向量,满足|A|=0,Aα=β,Aβ=α,则A相似于对角矩阵A,其中A=_______.

admin2019-02-23  34

问题 设A是3阶矩阵,α,β是线性无关的3维列向量,满足|A|=0,Aα=β,Aβ=α,则A相似于对角矩阵A,其中A=_______.

选项

答案[*]

解析 由题设条件|A|=0知,A有特征值λ1=0.又Aα=β,Aβ=α,则
    A(α+β)=β+α=α+β,  A(α-β)=β-α=-(α-β),
因α,β为线性无关向量,故α+β≠0,α-β≠0.故A有特征值λ2=1,λ3=-1.
因为A有3个不同的特征值,所以A相似于对角矩阵A,且A=
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