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  3. 设曲线积分上∫Ly2f′(χ)dχ＋2y[f′(χ)－χ]dy与路径无关，其中f(χ)具有二阶连续的导数，且f(0)＝1，f′(0)＝0。求f(χ)，并计算曲线积分∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ＋2y[f′(χ)－χ]dy。

设曲线积分上∫Ly2f′(χ)dχ＋2y[f′(χ)－χ]dy与路径无关，其中f(χ)具有二阶连续的导数，且f(0)＝1，f′(0)＝0。求f(χ)，并计算曲线积分∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ＋2y[f′(χ)－χ]dy。

admin2017-11-30  29
问题 设曲线积分上∫Ly2f′(χ)dχ＋2y[f′(χ)－χ]dy与路径无关，其中f(χ)具有二阶连续的导数，且f(0)＝1，f′(0)＝0。求f(χ)，并计算曲线积分∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ＋2y[f′(χ)－χ]dy。
选项
答案令P(χ，y)＝y2f′(χ)，Q(χ，y)＝2y[f′(χ)－χ]， 已知该积分与路径无关，则有[*]，即 2y[f〞(χ)－1]＝2yf′(χ)， 化简为f〞(χ)－f′(χ)＝1，该方程为可分离变量方程，即[*]＝dx两边同时积 分可得， f′(χ)＝Ceχ－1， 代入初始条件f′(0)＝0可得C＝1，故f′(χ)＝eχ－1，两边同时积分可得 f(χ)＝eχ－χ＋C1， 将初始条件f(0)＝1代入，可得C1＝0，故f(χ)＝eχ－χ。 ∫(0,0)(1,1)yf′(χ)dχ＋2y[f(χ)－χ]dy与路径无关，则可选取折线路径简化计算， 其中L1：y＝0，χ：0→1，L2：χ＝1，y：0→1， ∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ＋2y[f′(χ)－χ]dy＝∫(0,0)(1,1)y2(eχ－1)dχ＋2y(eχ－1－χ)dy ＝[*]y2(eχ－1)dχ＋2y(eχ－1－χ)dy＋[*]y2(eχ－1)dχ＋2y(eχ－1－χ)dy ＝∫012(e－2)ydy＝e－2。
解析
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考研数学一

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