2. 考研
  3. 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解是( )

已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解是( )

admin2021-04-07  29
问题 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解是(    )
选项 A、k1α1＋k2(α1＋α2)＋(β1－β2)／2
B、k1α1＋k2(β1＋β2)＋(β2－β2)／2
C、k1α1＋k2(β1－β2)＋(β1＋2β2)／3
D、k1α1＋k2(α1－α2)＋(β1＋2β2)／3
答案D
解析 因为β1－β2是对应齐次线性方程组Ax＝0的解，所以根据非齐次线性方程组的通解结构定理，显然应排除选项A和B。
又β1－β2与α1可能线性相关，例如，β1＝β2＋α1与β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，但β1－β2＝α1，所以仍由非齐次线性方程组的通解结构定理，应排除选项C，故选D。
必须指出，我们也可直接分析选项D，由于α1，α2是Ax＝0的基础解系，易知α1，α1－α2线性无关，因而也是Ax＝0的基础解系，又因为(β1＋2β2)为Ax＝－b的解，所以D为正确选项。
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考研数学二

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