设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=_____.

admin2019-08-11 40

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x-t)dt=

arctanx²，f(1)=1，求∫₁²f(x)dx=_____.

选项

答案[*]

解析由∫₀^x(2x-t)dt

∫_2x^x(2x-u)f(u)(-du)
=∫_x^2x(2x-u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du-∫_x^2xuf(u)du.
得2x∫_x^2xf(u)du-∫_x^2xuf(u)du=

arctanx²，等式两边对x求导得
2∫^2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=

，整理得
2∫_x^2xf(u)du-xf(x)=

取x=1得2∫₁²f(u)du-f(1)=

，故∫₁²f(x)dx=

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