设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’x(x,2x)=x(即u’x(x,y)|y=2x=x2),求u’’xx(x,2x),u’’xy(x,2x),u’’yy(x,2x).

admin2018-06-27  34

问题 设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’x(x,2x)=x(即u’x(x,y)|y=2x=x2),求u’’xx(x,2x),u’’xy(x,2x),u’’yy(x,2x).

选项

答案将u(x,2x)=x两边对x求导,由复合函数求导法及u’x(x,2x)=x2得 u’x(x,2x)+2u’y(x,2x)=1,u’y(x,2x)=[*](1-x2). 现将u’x(x,2x)=x2,u’y(x,2x)=(1-x2)分别对x求导得 u’’x(x,2x)+2u’’xy(x,2x)=2x, ① u’’yx(x,2x)+2u’’yy(x,2x)=-x. ② ①式×2-②式,利用条件u’’xx(x,2x)-u’’yy(x,2x)=0及u’’xy(x,2x)=u’’yx(x,2x)得 3u’’xy(x,2x)=5x,u’’xy(x,2x)=[*] 代入①式得u’’xx(x,2x)=u’’yy(x,2x)=[*]

解析
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