设A3×3=[α1,α2,α3],方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1,2,一3]T+[2,一1,1]T,其中k是任意常数.证明: 方程组(α1,α2)x=β有唯一解,并求该解;

admin2014-04-16  37

问题 设A3×3=[α123],方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1,2,一3]T+[2,一1,1]T,其中k是任意常数.证明:
方程组(α12)x=β有唯一解,并求该解;

选项

答案由题设条件(α123)x=β有通解k[1,2,一3]T+[2,一1,1]T,知r(α123)=r(α123,β)=2,(*)α1+2α2一3α3=0,(**)β=(k+2)α1+(2k一1)α2+(一3k+1)α3.(***)其中k是任意常数.(I)由(**)式得[*],知α12线性无关(若α12线性相关,又[*];2α2),得r(α123)=1,这和关系式(*)矛盾).由(*)式知α12是向量组α123及α123,β,α3,β的极大线性无关组,从而有r(α12)一r(α12,β)=2,方程组(α12)x=β有唯一解.由(***)式取α3的系数一3k+1=0,即取[*]得(α12)x=β的唯一解为[*]即唯一解[*]

解析
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