设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn, (I)求θ的最大似然估计量; (Ⅱ)求随机变量的分布函数; (Ⅲ)求随机变量的数学期望.

admin2020-09-23  31

问题 设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn
(I)求θ的最大似然估计量
(Ⅱ)求随机变量的分布函数
(Ⅲ)求随机变量的数学期望

选项

答案(I)样本的似然函数为 [*] 取对数,得[*] 因为[*],则L(θ)是θ的单调增函数, 又因为θ<x1,θ<x2,…,θ<xn,所以当θ=min{x1,x2,…,xn}时L(θ)最大. 故θ的最大似然估计量[*]=min{X1,X2,…,Xn}. (Ⅱ)总体X的分布函数为FX(x)=∫-∞xf(t;θ)dt. 当x≤θ时,FX(x)=0; 当x>0时,FX(x)=∫θx2e-2(t-θ)dt=1-e-2(x-θ), 故总体X的分布函数FX(x)为 [*] [*]的分布函数为 [*]=P{min{X1,X2,…,Xn}≤x}=1一P(min{X1,X2,…,Xn}>x} =1一P{X1>x)P{X2>x}.….P{Xn>x}=1一[1一FX(x)]n [*] (Ⅲ)由(Ⅱ)知,[*]的概率密度为 [*] 故随机变量[*]的数学期望为 [*]

解析
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