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  3. 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有( )

设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有( )

admin2019-02-18  44
问题 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有(    )
选项 A、α1，α2，β1线性无关。
B、α1，α2，β2线性无关。
C、α2，α3，β1，β2线性相关。
D、α1，α2，α3，β1+β2线性相关。
答案B
解析 由α1，α2，α3线性无关，且β2不能由α1，α2，α3线性表示知，α1，α2，α3，β2线性无关，从而部分组α1，α2，β2线性无关，故B为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。
取α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，1，0)T，β2=(0，0，0，1)T，β1=α1，可知A项与C项错误。
对于选项D，由于α1，α2，α3线性无关，若α1，α2，α3，β1+β2线性相关，则β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，从而β2可由α1，α2，α3线性表示，与假设矛盾，从而D项错误。故选B。
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