设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2

admin2019-02-23  42

问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2恒为1,求曲线y=y(x)的方程。

选项

答案设曲线y=y(x)上的点P(x,y)处的切线方程为 Y一y=y’(X—x), 它与x轴的交点为[*] 由于y’(x)>0,y(0)=1,因此y(x)>1(x>0)。于是 [*] 又可得 S2=∫0xy(t)dt。 根据题设2S1一S2=1,有 [*]一∫0xy(t)dt=1, 并且y’(0)=1,两边对x求导并化简得 yy’’=(y’)2, 这是可降阶的二阶常微分方程,令p(y)=y’,则上述方程可化为 [*] 分离变量得[*] 从而有 y=C2eC1x。 根据y’(0)=1,y(0)=1,可得C1=1,C2=1。 故所求曲线的方程为y=ex

解析
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