已知矩阵A=,试求Ak.

admin2020-06-05  26

问题 已知矩阵A=,试求Ak

选项

答案方法一 由A=[*] 可求得A2=[*] ,A3=[*],观察这些矩阵的规律可知,A2的第1行元素是(λ+1)2展开式的三项元素,而A3的第1行元素是(λ+1)3展开式的前三项.由此推测Ak的第1行元素应是(λ+1)l的展开式的前三项元素:λk,kλk-1,[*].假设 [*] 则Ak+1=Ak·A[*] 即A的幂次为k+1时结论成立,故由归纳法的假设知上述结论正确. 方法二 将矩阵A分解为 A=[*]=λE+H 其中H=[*],可以验证矩阵H满足H2=[*],H3=H4=…=0,且(λE)H=λH=H(λE),即λE与H可交换,故由二项式展开公式得 Ak=(λE+H)k=(λE)k+Ck1(λE)k-1H+Ck2(λE)k-2H2=λkE+kλk-1H+[*]

解析
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