(Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x),求证:x=0是y=f(x)的极大值点. (Ⅱ)设F(x,y)在(x0,y0)某邻域有连续的二阶偏导数,且F(x0,y0)=(x0,y0=0,(x0,y0>0,(x0,y0)

admin2015-05-07  51

问题 (Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x),求证:x=0是y=f(x)的极大值点.
    (Ⅱ)设F(x,y)在(x0,y0)某邻域有连续的二阶偏导数,且F(x0,y0)=(x0,y0=0,(x0,y0>0,(x0,y0)<0.由方程F(x,y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x),它有连续的二阶导,且y(x0)=y0,求证y(x)以x=x0.为极小值点.

选项

答案(Ⅰ)先求y(0):由x=arctant知,x=0[*]t=0,x>0(<0)[*]t>0(<0).由y=ln(1-t2)-siny知,x=0[*]y=-siny[*]y=0(y+siny[*]).因此y(0)=0,下面求[*]并判断它,在x=0邻域的正负号. [*] 其中δ>0是充分小的数.因此x=0是y=f(x)的极大值点. (Ⅱ)由隐函数求导法知y’(x)满足 [*] 令x=x0,相应地y=y0,由F’x(x0,y0)=0,F’y(x0,y0)≠0得y’(x0)=0.将上式再对x求导, 并注意y=y(x)即得 [*] 再令x=x0,相应地y=y0,y’(x0)=0,得 [*] 因此x=x0是y=y(x)的极小值点

解析
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