求下列方程的通解： (Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ)xy’=+y．

admin2018-11-21 60

问题求下列方程的通解：
(Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ)xy’=

+y．

选项

答案(Ⅰ)属变量可分离的方程，分离变量改写为 [*]=(sinlnx+coslnx+a)dx．两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)一∫x．cos(lnx)．[*]dx=xsin(lnx)一∫cos(lnx)dx，所以通解为ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+C₁，或y=Ce^xsin(lnx)+ax，其中C₁，C为任意常数． (Ⅱ)属齐次方程．令y=xu，并且当x＞0时，原方程可化为 [*] 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin[*]=lnx+C，其中C为任意常数．当x＜0时，上述方程变为[*]=一ln｜x｜+C，其中C为任意常数．所得的通解公式也可以统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解u=±1，即y=±x．

解析

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考研数学一

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求下列方程的通解： (Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ)xy’=+y．

考研数学一

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