2. 考研
  3. 设f(χ)在(a，b)二阶可导，χ1，χ2∈(a，b)，χ1≠χ2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f〞(χ)＞0(χ∈(a，b))，有 f[tχ1＋(1－t2)χ2]＜tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)， (4．6) 特别有

设f(χ)在(a，b)二阶可导，χ1，χ2∈(a，b)，χ1≠χ2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f〞(χ)＞0(χ∈(a，b))，有 f[tχ1＋(1－t2)χ2]＜tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)， (4．6) 特别有

admin2016-10-21  49
问题 设f(χ)在(a，b)二阶可导，χ1，χ2∈(a，b)，χ1≠χ2，t∈(0，1)，则
    (Ⅰ)若f〞(χ)＞0(χ∈(a，b))，有
    f[tχ1＋(1－t2)χ2]＜tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)，    (4．6)
    特别有
    (Ⅱ)若f〞(χ)＜0(χ∈(a，b))，有
    f[tχ1＋(1－t)χ2]＞tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)，    (4．7)
    特别有
选项
答案(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f〞(χ)＞0(χ∈(a，b))[*]f(χ)在(a，b)为凹的[*](4．5)相应的式子成立．注意tχ1＋(1－t)χ2∈(a，b)[*] f(χ1)＞[tχ1＋(1－t)χ2]＋f′[tχ1＋(1－t)χ2][χ－(tχ1＋(1－t)χ2)] ＝f[tχ1＋(1－t)χ2]＋f′[tχ1＋(1－t)χ2](1－t)(χ1－χ2)， f(χ2)＞f[tχ1＋(1－t)χ2]＋f′[tχ1＋(1－t)χ2][χ2－(tχ1＋(1－t)χ2)] ＝f[tχ1＋(1－t)χ2]－f′[tχ1＋(1－t)χ2]t(χ1－χ2)， 两式分别乘t与(1－t)后相加得 tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)＞f[tχ1＋(1－t)χ2]．
解析
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考研数学二

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