设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0,f(0)＜0,证明：f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点。

admin2022-10-08 38

问题设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0,f(0)＜0,证明：f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点。

选项

答案在[0,+∞)上，由f’(x)≥k＞0,得∫₀^xf’(x)dx≥∫₀^xkdx，即f(x)≥kx+f(0) 取x₁＞[*]＞0,有f(x₁)＞k[[*]]+f(0)=0 因f(x₁)＞0,由题设f(0)＜0,根据零点存在定理，必存在x₀∈(0,x₁),使得f(x₀)=0 因f’(x)≥k＞0,故f(x)严格单调增加，x∈（0，+∞），所以f(x)在(0,+∞)内仅有一个零点。

解析

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考研数学三

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