设f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在[一1,1]内存在ξ,使得f"(ξ)=3.

admin2018-08-12  59

问题 设f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在[一1,1]内存在ξ,使得f"(ξ)=3.

选项

答案f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+[*], 取x0=0,x=1代入, f(1)=f(0)+[*]f"(0)(1—0)2+[*]f’"(η1)(1—0)3,η1∈(0,1). ① 取x0=0,x=一1代入, f(一1)=f(0)+[*]f"(0)(-1一0)2+[*]f"’(η2)(一1—0)3,η2∈(一1,0). ② ①一②:f(1)一f(一1)=[*][f"’(η1)+f"’(η2)]=1—0. ③ 因为f"’(x)存[一1.1]上连续.刚存存m和M.使得[*] m≤f"’(η1)≤M,m≤f"’(η2)≤M[*] ③代入④式,有m≤3≤M,由介值定理,[*]∈[-1,1],使得f"’(ξ)=3.

解析
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